\chapter{1614-1631年,Faulhaber公式的数学推导与历史沿革}
\textbf{}
	\begin{abstract}
		本文系统研究了Faulhaber公式的数学结构及其历史发展。该公式由德国数学家Johann Faulhaber在17世纪早期发现，后经雅各布·伯努利完善，给出了自然数幂求和$S_m(n)=\sum_{k=1}^n k^m$的显式多项式表达式。我们首先考察其历史渊源，随后通过生成函数和递推关系两种方法进行严格推导，并给出矩阵表示形式。研究表明，该公式与伯努利数存在本质联系，在数值分析、组合数学等领域具有重要应用价值。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	自然数幂求和问题可追溯至古希腊数学家阿基米德的工作。17世纪，Faulhaber首次给出了$m\leq17$时的通项公式，而伯努利则建立了与现代形式一致的通用表达式。该问题的研究推动了生成函数理论的发展，并揭示了离散数学与连续分析之间的深刻联系。
	
	\section{历史背景}
	\subsection{Faulhaber的贡献}
	Johann Faulhaber (1580-1635) 在《Academia Algebrae》(1631)中发表了直至17次的幂和公式。其关键发现是：
	
	\begin{equation}
		S_m(n) = \frac{n^{m+1}}{m+1} + \frac{n^m}{2} + \text{低阶项}
	\end{equation}
	
	\subsection{伯努利的完善}
	雅各布·伯努利在《Ars Conjectandi》中引入伯努利数$B_k$，得到现代标准形式：
	
	\begin{equation}
		S_m(n) = \frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^m \binom{m+1}{k}B_k n^{m+1-k}
	\end{equation}
	
	\section{数学推导}
	\subsection{生成函数法}
	定义指数生成函数：
	
	\begin{equation}
		G(t,n) = \sum_{m=0}^\infty S_m(n)\frac{t^m}{m!} = \frac{e^{t(n+1)}-e^t}{e^t-1}
	\end{equation}
	
	利用伯努利数生成函数$\frac{t}{e^t-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k\frac{t^k}{k!}$，可得：
	
	\begin{align}
		G(t,n) &= \frac{1}{t}\left(\frac{te^{t(n+1)}}{e^t-1} - \frac{te^t}{e^t-1}\right) \nonumber \\
		&= \frac{1}{t}\sum_{k=0}^\infty B_k\frac{t^k}{k!}\left[(n+1)^k - 1^k\right] \nonumber \\
		&= \sum_{m=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^m \frac{B_k}{k!}\cdot\frac{(n+1)^{k+1}-1}{k+1}\cdot\frac{t^m}{m!}\right)
	\end{align}
	
	比较系数即得Faulhaber公式。
	
	\subsection{递推推导}
	利用阿贝尔求和公式：
	
	\begin{equation}
		\sum_{k=1}^n k^m = \int_1^n x^m dx + \frac{n^m+1}{2} + \sum_{j=2}^m \frac{B_j}{j!}m^{\underline{j-1}}n^{m-j+1}
	\end{equation}
	
	其中$m^{\underline{k}}$表示下降阶乘。整理后可得标准形式。
	
	\section{矩阵表示}
	定义向量$\mathbf{S}=(S_0(n),\ldots,S_m(n))^T$和$\mathbf{N}=(n,\ldots,n^{m+1})^T$，则存在下三角矩阵$\mathbf{P}_{m+1}$使得：
	
	\begin{equation}
		\mathbf{S} = \mathbf{P}\mathbf{N}
	\end{equation}
	
	矩阵元素由：
	
	\begin{equation}
		p_{ij} = \begin{cases}
			\frac{1}{i}\binom{i}{j-1}B_{i-j} & j \leq i \\
			0 & \text{其他}
		\end{cases}
	\end{equation}
	
\section{应用实例}
\subsection{平方和计算}
取$m=2$，考虑$S_2(n) = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$的推导过程：

\begin{enumerate}
	\item \textbf{代入Faulhaber公式}：
	\begin{equation}
		S_2(n) = \frac{1}{3}\sum_{k=0}^2 \binom{3}{k}B_k n^{3-k}
	\end{equation}
	
	\item \textbf{计算各项系数}：
	\begin{align*}
		\binom{3}{0}B_0 &= 1 \times 1 = 1 \\
		\binom{3}{1}B_1 &= 3 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{3}{2} \\
		\binom{3}{2}B_2 &= 3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \\
		\binom{3}{3}B_3 &= 1 \times 0 = 0 \quad (\text{奇数项伯努利数为0})
	\end{align*}
	
	\item \textbf{组合各项}：
	\begin{align}
		S_2(n) &= \frac{1}{3}\left(1\cdot n^3 - \frac{3}{2}n^2 + \frac{1}{2}n\right) \nonumber \\
		&= \frac{n^3}{3} - \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6} \nonumber \\
		&= \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{6} \label{eq:s2_final}
	\end{align}
	
	\item \textbf{因式分解验证}：
	将式(\ref{eq:s2_final})因式分解可得：
	\begin{equation}
		S_2(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
	\end{equation}
	此结果与经典平方和公式一致，验证了推导的正确性。
\end{enumerate}

	\subsection{立方和计算}
	取$m=3$：
	
	\begin{align}
		S_3(n) &= \frac{1}{4}\left[\binom{4}{0}B_0n^4 + \binom{4}{1}B_1n^3 + \binom{4}{2}B_2n^2\right] \nonumber \\
		&= \frac{1}{4}\left(n^4 - 2n^3 + n^2\right) \nonumber \\
		&= \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2
	\end{align}
	
	\subsection{数值积分}
	在复合梯形公式误差分析中，利用Faulhaber公式可得：
	
	\begin{equation}
		\int_0^n f(x)dx \approx \sum_{k=1}^n f(k) - \frac{f(n)-f(0)}{2} - \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{(2k)!}[f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)]
	\end{equation}
	
	\section{结论}
	Faulhaber公式通过伯努利数建立了离散求和与连续多项式之间的联系，其优美的数学结构持续启发着现代数学研究。本文系统梳理了该公式的历史脉络，并给出了严格的数学证明，为相关领域研究提供了理论基础。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{knuth} 
		Knuth, D. E. (1993). Johann Faulhaber and sums of powers. \textit{Mathematics of Computation}, 61(203), 277-294.
		
		\bibitem{conway}
		Conway, J. H., \& Guy, R. (1996). \textit{The Book of Numbers}. Springer.
		
		\bibitem{aigner}
		Aigner, M., \& Ziegler, G. (2014). \textit{Proofs from THE BOOK} (5th ed.). Springer.
	\end{thebibliography}
	